Определенный интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).
В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a < b)
и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b] функции y = f(x); назовем эту фигуру криволинейной трапецией. Требуется
вычислить площадь криволинейной трапеции.
Решение. Геометрия дает нам рецепты для вычисления площадей многоугольников и некоторых частей круга (сектора, сегмента). Используя
геометрические соображения, мы сумеем найти лишь приближенное значение искомой площади, рассуждая следующим образом.
Разобьем отрезок [а; b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей; это разбиение осуществим с помощью точек x1,
x2, ... xk, ... xn-1. Проведем через эти точки прямые, параллельные оси у. Тогда заданная
криволинейная трапеция разобьется на n частей, на n узеньких столбиков. Площадь всей трапеции равна сумме площадей столбиков.
Рассмотрим отдельно k-ый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [xk; xk+1].
Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(xk) (см. рисунок). Площадь прямоугольника равна
 \cdot \Delta x_k)
, где 
— длина отрезка [xk; xk+1]; естественно
считать составленное произведение приближенным значением площади k-го столбика.
Если теперь сделать то же самое со всеми остальными столбиками, то придем к следующему результату: площадь S заданной криволинейной
трапеции приближенно равна площади Sn ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников (см. рисунок):
\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_{n-1})\Delta x_{n-1})
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х0, b = xn; 
— длина
отрезка [x0; x1],
— длина отрезка [x1; x2], и т.д; при этом, как мы условились выше,
Итак, 
, причем это приближенное равенство тем точнее, чем больше n.
По определению полагают, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (Sn):
Задача 2 (о перемещении точки)
По прямой движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Найти перемещение точки
за промежуток времени [а; b].
Решение. Если бы движение было равномерным, то задача решалась бы очень просто: s = vt, т.е. s = v(b-а). Для неравномерного движения
приходится использовать те же идеи, на которых было основано решение предыдущей задачи.
1) Разделим промежуток времени [а; b] на n равных частей.
2) Рассмотрим промежуток времени [tk; tk+1] и будем считать, что в этот промежуток времени скорость была
постоянной, такой, как в момент времени tk. Итак, мы считаем, что v = v(tk).
3) Найдем приближенное значение перемещения точки за промежуток времени [tk; tk+1], это приближенное
значение обозначим sk
 \Delta t_k)
4) Найдем приближенное значение перемещения s:
где
\Delta t_0 + \dots + v(t_{n-1}) \Delta t_{n-1})
5) Искомое перемещение равно пределу последовательности (Sn):
Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей
науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.
Понятие определенного интеграла
Дадим математическое описание той модели, которая была построена в трех рассмотренных задачах для функции y = f(x),
непрерывной (но необязательно неотрицательной, как это предполагалось в рассмотренных задачах) на отрезке [а; b]:
1) разбиваем отрезок [а; b] на n равных частей;
2) составляем сумму
\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_{n-1})\Delta x_{n-1})
3) вычисляем 
В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует.
Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так:
 dx)
Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).
Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
 dx)
здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное
в задаче 2, можно переписать так:
 dt)
Формула Ньютона — Лейбница
Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?
Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток
времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле
С другой стороны, координата движущейся точки есть первообразная для скорости — обозначим ее s(t); значит, перемещение s
выражается формулой s = s(b) - s(a). В итоге получаем:
 dt = s(b)-s(a))
где s(t) — первообразная для v(t).
В курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула
 dx = F(b)-F(a))
где F(x) — первообразная для f(x).
Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона — Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727)
и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646— 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.
На практике вместо записи F(b) - F(a) используют запись \right|_a^b)
(ее называют иногда двойной подстановкой) и, соответственно, переписывают формулу Ньютона — Лейбница в таком виде:
 dx = \left. F(x)\right|_a^b)
Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.
Опираясь на формулу Ньютона — Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.
Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
 + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx)
Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
dx = k \int\limits_a^b f(x)dx)
Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла
С помощью интеграла можно вычислять площади не только криволинейных трапеций, но и плоских
фигур более сложного вида, например такого, который представлен на рисунке. Фигура Р ограничена прямыми х = а, х = b и графиками
непрерывных функций y = f(x), y = g(x), причем на отрезке [а; b] выполняется неравенство  \leq f(x))
. Чтобы вычислить
площадь S такой фигуры, будем действовать следующим образом:
 dx - \int\limits_a^b g(x) dx =)
-g(x))dx)
Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b]
и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство , вычисляется по формуле
-g(x))dx)
Таблица неопределённых интегралов (первообразных) некоторых функций
$$ \int 0 \cdot dx = C $$
$$ \int 1 \cdot dx = x+C $$
$$ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} +C \;\; (n \neq -1) $$
$$ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| +C $$
$$ \int e^x dx = e^x +C $$
$$ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$
$$ \int \cos x dx = \sin x +C $$
$$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$
$$ \int \frac{dx}{\cos^2 x} = \text{tg} x +C $$
$$ \int \frac{dx}{\sin^2 x} = -\text{ctg} x +C $$
$$ \int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \text{arcsin} x +C $$
$$ \int \frac{dx}{1+x^2} = \text{arctg} x +C $$
$$ \int \text{ch} x dx = \text{sh} x +C $$
$$ \int \text{sh} x dx = \text{ch} x +C $$
